Quantenphysik von einem Laien für Laien

1 Vorbemerkung
2 Max Planck und das Wirkungsquant
3 Der Photoelektrische Effekt:
4 Die Natur von Wellen
5 Die Materienwelle nach de Broglie
6 Die Kopenhagener Deutung
7 Das Bellsche Theorem
    7.1 Polarisation
    7.2 Die EPR-Publikation
    7.3 Anwendung des Bellschen Theorems

8 Schrödingers Katze
9. Links
10.Quantenpysik und Mystizismus

1 Vorbemerkung
Wenn ein Laie sich bemüht, Laien etwas zu erklären hat das den Nachteil, dass er vielleicht falsche Dinge erzählt, weil er diese selber falsch verstanden hat, andererseits aber zahlreiche Vorteile: Er weiss besser als der Fachmann, was dem Laien  Mühe macht zu begreifen, er kann  sich nicht hinter  Fachausdrücken verschanzen, er findet Vergleiche, die nicht aus dem Fachgebiet selbst stammen und darum dem Laien nichts sagen, er überspringt nicht fundamentale Vorgaben, die der Fachmann unerwähnt lässt, weil  sie ihm selbstverständlich sind, usw. Also erlaube ich mir kühn, Ihnen die Quantenphysik zu erklären, also etwas, was eigentlich niemand  versteht, auch die Fachleute nicht.

Das könnte ein Fachmann natürlich kaum so unumwunden zugeben. Darum wird schon hier mein Laienschüler lachend einwenden:  "Wie willst du etwas erklären, was weder du noch sonst jemand versteht?" Darauf antworte ich: "Nun müssten wir also zu aller erst  uns darüber einigen, was verstehen heisst und was erklären; ich habe diese Frage ausführlich in meinen Büchern (vgl. Kindle: Metaphysics reloaded) abgehandelt und will nur in aller Kürze sagen: Unter verstehen versteht man meisten erklären können, und eine Erscheinung (Phänomen) erklären können meint: Ein Modell im Kopf haben, das  man auch konstruieren und in die Hand nehmen könnte, und welches dann das betreffende Phänomen reproduzieren könnte. Mit andern Worten: Ein Phänomen erklären heisst immer:  Für das Phänomen Vergleiche aus den Alltagserfahrungen beibringen, also das Phänomen in die Erfahrungswelt der Alltagsdimension (Mesokosmos) übersetzen.

Und genau dies ist eben nicht möglich, weder für die astronomischen Dimensionen (Makrokosmos, vgl. Relativitätstheorie) noch für die Mikrodimensionen der sogenannten Elementarteilchen, die noch nie jemand gesehen hat. Wenn nun ein Fachmann protestiert und sagt, man könne Atome fotografieren, dann darf man ihn wohl darauf aufmerksam machen, dass er ein Foto von Atomen und nicht Atome gesehen hat (das ist ja die Botschaft von Magrites Bild "Ceci n'est pas une Pipe"). Wenn ich sage, ich hätte New York noch nie gesehen, so meine ich damit  ja auch nicht, dass ich noch nie ein Foto von N.Y. gesehen habe... (vgl. Bichsel: "Amerika gibt es nicht")

Nun dürfen wir natürlich nicht in dieser Art weiter diskutieren, sonst bleiben wir im Philosophieren stecken und kommen nie ans Zie. Unser Ziel aber ist, eine Vorstellung davon zu bekommen, was die myteriösen Quantenphysiker tun und reden, und warum es eben doch für den Alltag von Bedeutung sein könnte oder sogar ist.

Oft ist es hilfreich, den historischen Weg zu betrachten, der zu einer Theorie geführt hat, auch wenn die Fachleute behaupten, dieser Weg sei mit so vielen Holz- und Irrwegen verbunden, dass der Direkteinstieg  kürzer und verständlicher sei.  Das mag  für jene zutreffen, die eine Ausbildung in höherer Mathematik haben, aber nicht für uns Laien. Darum  halte ich es doch  für nützlich, wenigstens rudimentär den historischen Weg  zu gehen:

2 Max Planck und das Wirkungsquant

Planck

1874 beginnt der 16-jährige Max Planck (1858-1947) an der Universität München sein Physikstudium. 1885 wird der 27-Jährige in Kiel Professor für mathematische Physik. 4 Jahre später wird er nach Berlin berufen. Schon als 21-Jähriger hat er in Berlin mit einer Arbeit über den 2. Hauptsatz der Wärmetheorie in Berlin das Physikstudium beendet. Planck ist also sozusagen von Jugend auf  mit der Thermodynamik vertraut. 1899 postuliert er eine Konstante "h", die später als "Plancksches Wirkungsquant"  die Physik revolutionierte. Und das kam so:
[Reminder für Mittelschüler:  s= Weg (bzw. Abstand von einem Nullpunkt);  ds/dt=v (Geschwindigkeit) ; dv/dt=b (Beschleunigung) ; bm = F (Force, Kraft) ;  
Fs = bms = E (Energie bzw. Arbeit oder Arbeitsfähigkeit); p = mv = "Impuls" ;  Wärmeenergie ≈ kinetische Energie der Brownsche Bewegung ; Lichtenergie?? Wenn Licht aufgrund von Interferenz und Beugung als Welle aufgefasst wird, dann wäre nur bei vorhandenem Medium (Äther) eine Lichtenergie analog zu Wasserwellenenergie denkbar; da aber ein Äther nie nachgewiesen werden konnte, ist zum Verständnis, Licht sei eine Energieform, die (seit Newton herumgeisternde) Korpuskeltheorie des Lichtes geeigneter; Lichtenergie ist dann vergleichbar mit kinetischer Energie von Photonen; diese Energie ist proportional zur Frequenz ν (also zu einer Grösse, die ganz in die Wellentheorie des Lichtes gehört!):  E = hν (vgl. unten).
Weil νl =c= Lichtgeschwindigkeit, lässt sich die Frequenz ν aus der Wellenlänge berechnen und diese aus dem Interferenzmuster,
vgl. http://physikunterricht-online.de/jahrgang-11/wellenlaengenbestimmung-von-licht/ ]
 

Wärmestrahlung:
Planck studierte die Wärmestrahlung. Es war nämlich bekannt, dass Körper ohne beleuchtet zu werden (also ohne "einfach" Licht zurück zu werfen) auch schon von sich aus leuchten können. Das ist banal, wenn man an ein glühend heisses Hufeisen denkt; der Hufschmid wundert sich darüber nicht; das ist Alltag. Er weiss auch, dass das Hufeisen noch Wärme abstrahlt, wenn es nicht mehr sichtbar glüht (leuchtet). Wenn er diese Wärmestrahlung spürt, hütet er sich, das Hufeisen in die Hand zu nehmen, weil er sich die Finger daran verbrennen würde. Die Physiker nun merkten, dass das Hufeisen auch dann noch Wärmestrahlung abgibt, wenn es nur noch lauwarm ist, und sie merkten, dass die Wärmestrahlung praktisch unabhängig vom Material (Eisen, Aluminium, Keramik usw.) ist. Um die Wärmestrahlung eines Körpers nicht vermischt zu haben mit Licht, das den Körper beleuchtet, konstruierte man "Hohlkörper" und  konnte so die "reine Wärmestrahlung" untersuchen:
Hohlraumstrahlung
Um die Temperatur des Wärmestrahlers konstant zu halten, setzte man ihn in ein Wärmebad.
Die Wärmestrahlung ist wie Licht eine elektromagnetische Welle. Meistens liegt die Wellenlänge der Wärmestrahlung nicht im sichtbaren Bereich. Erst bei sehr hohen Temperaturen sieht man die Wärmestrahlung (Glühen). Die Energie der Wärmestrahlung verteilt sich in typischer Weise temperaturabhängig auf die verschiedenen Wellenlängen:

Wiensches Gesetz

Nun war Planck Thermodynamiker "von Jugend auf" und kannte natürlich sehr wohl die thermodynamischen Gesetze, auch das Gesetz von Rayleigh (vgl unten). Er kannte auch die Vorarbeiten von Stefan (experimentell) und Boltzmann (theoretisch). Die Formel von Rayleigh beschrieb aber die experimentellen Ergebnisse nicht befriedigend:

Planck-Rayleigh

Wilhelm Wien (Mitarbeiter von Helmholz) fand eine Formel, welche die  Strahlungsleistung = f(Wellenlänge) besser beschrieb mit einem Maximum  an korrekter Stelle:

 Wien

Plank konnte Wiens Formel E=f(l) so modifizieren, dass sie den experimentellen Beobachtungen entsprach und ein Maximum hatte. Das gelang ihm aber nur dadurch, dass er die Strahlungsenergie in Quanten (kleine Qantitäten, gleichsam kleine Päckchen, Photonen) "verpackte" (vgl. unten), d.h. die Strahlungsenergie bei als Produkt aus Frequenz n und einer Konstanten "h" auffasste (E=hn). Der Name "h" wurde gewählt als Kürzel für Hilfs-Konstante. Weil  h  das Produkt aus t [bzw. 1/n]  und Energie [Joule] ist, also die Dimension [t E] hat, wird "h"  Wirkungsquant [Leistungsquant] genannt.

Planck war sich völlig bewusst, dass er mit diesem "Trick" viele offene Fragen auslöste. Zunächst  glaubte er, die Quantelung käme dadurch zustande, dass die Hohlraumstrahlung von den Innenwänden des Hohlraums absorbiert und in Quanten wieder abgegeben werde, dass also die Quantelung eine Folge des Materials der Wärmestrahler sei.




Details aus Wikipedia:

Planck stützte sich bei seiner Herleitung des Strahlungsgesetzes nicht auf den Rayleighschen Ansatz, vielmehr ging er von Wiens 1896 empirisch ermitteltem Strahlungsgesetz aus, welches aber bei niedrigen Frequenzen versagte. Planck verbesserte 1900 diese Formel, indem er zunächst einfach eine "-1" in das wiensche Strahlungsgesetz einfügte. Damit blieb diese Formel reine Empirie - aber sie beschrieb die bekannten experimentellen Messungen über das gesamte Frequenzspektrum korrekt. Planck gab sich damit aber nicht zufrieden. Es gelang ihm die Strahlungskonstanten C und c aus der wienschen Formel durch Naturkonstanten zu ersetzen, nur ein Faktor h ("hilf") blieb übrig. So kam er innerhalb weniger Monate zu einem epochemachenden Ergebnis, es war die Geburtsstunde der Quantenphysik: Er musste sich selbst gegen seine eigene Überzeugung eingestehen, dass die Energieabgabe nicht kontinuierlich erfolgt, sondern nur in Vielfachen von kleinsten "h"-Einheiten, die ihm zu Ehren dann später als Plancksches Wirkungsquantum bezeichnet wurde.

Nach dieser von Planck eingeführten Quantenhypothese kann ein Oszillator der Frequenz ν anstelle beliebiger Energiemengen nur ganzzahlige Vielfache der Energie hν aufnehmen; insbesondere bedarf er einer Mindestenergie hν, um überhaupt angeregt zu werden. Schwingungszustände, deren Mindestenergie hν deutlich über der thermisch zur Verfügung gestellten Energie kT liegen, können nicht angeregt werden, sie bleiben eingefroren. Schwingungszustände, deren Mindestenergie wenig über kT liegt, können mit gewisser Wahrscheinlichkeit angeregt werden, so dass von ihnen ein bestimmter Bruchteil zur gesamten Hohlraumstrahlung beiträgt. Lediglich Schwingungszustände mit niedriger Mindestenergie hν, also kleineren Frequenzen, können die angebotene thermische Energie vollständig aufnehmen und werden (im Mittel) mit Sicherheit angeregt. Die statistische Thermodynamik zeigt, dass unter diesen Bedingungen ein Schwingungszustand der Frequenz ν im Mittel die Energie 



 trägt. Multiplikation mit der Dichte der erlaubten Schwingungszustände
führt auf die plancksche Energiedichte

.

Die Ultraviolett-Katastrophe wird nach Planck also dadurch vermieden, dass die höherfrequenten elektromagnetischen Schwingungszustände, die nach geometrischen Kriterien durchaus im Hohlraum existieren könnten, wegen ihrer hohen Anregungsschwelle durch die zur Verfügung stehende thermische Energie nicht angeregt werden können und daher nicht zur Energiedichte im Hohlraum beitragen. Die spektrale Energiedichte nimmt deshalb zu höheren Frequenzen hin wieder ab, nachdem sie ein Maximum durchlaufen hat, und die Gesamtenergiedichte bleibt endlich.
Details aus Wikipedia:




3 Der Photoelektrische Effekt:

Erst Einstein wagte den "Sprung" zum Lichtquant! In seiner Arbeit über den "photoelektrischen Effekt" (1905) wendete er kühn das Plancksche Wirkungsquant auf Photonen an. Solcher "Missbrauch" von h, womit er die Idee der veralteten newtonschen Korpuskeltheorie des Lichtes wieder hervorzuholte, war kühn. Das Wellenmodell des Lichtes hatte sich nämlich in der 2.Hälfte des 19.Jahrhunderts mit Maxwells (1831-1879) Formalismus der elektromagnetischen Wellen dermassen gut bewährt ( Maxwells Formeln beschrieben korrekt alle optischen Phänomene, Brechung, Streuung, Interferenz, Spiegelung!), dass das Hervorholen der Photonen (Partikel) aus Newtons Mottenkiste bei älteren Physikern nur müdes Lächeln auslösen konnte. Entweder hatte Einstein die Maxwellschen Gleichungen nicht ganz begriffen oder er war ein Genie. Es zeigte sich bald, dass das Zweite zutraf: Einstein (1879-1955) bekam  1921 dafür den Nobelpreis

Der Photoelektrische Effekt: Wenn Photonen auf Metall auftreffen, schlagen sie Elektronen aus dem Metall:

Fotoel Eff
Der Elektronenstrom kann gemessen werden (bzw. die "Brems-Spannung" oder "Gegenspannung", die angelegt werden muss, um die Elektronen im Metall zurück zu halten):
FE

Man sieht bei der Durchführung eines solchen Experimentes, dass der maximale fotoelektrische Effekt nicht mit der Lichintensität, sondern mir der Wellenlänge erreicht wird. Das ist mit der Wellentheorie nicht erklärbar, aber sehr einfach mit der Photonentheorie, vor allem wenn dabei die Energie eines Einzelphotons E=hn beträgt.




4 Die Natur von Wellen
Die Ausgangsfrage lautete also: Ist das Licht nun eine Welle oder besteht es aus  Teilchen (Photonen) ?
Um die Tragweite dieser Frage zu begreifen, muss man wissen, was "Wellen"  sind:

Welle

Von Wasserwellen sprechen wir, wenn Wassermolekülr sich rythmisch in vertikaler Richtung auf und ab bewegen, in horizontaler richtung aber mehr oder weniger an Ortbleiben. Die Wassermassen bewegen sich also bei Wellengang nur lokal etwas auf und ab. Lediglich der vertikale Zustand der Wassersmoleküle verändert sich rythmisch. Wenn ein Kork auf der Wasseroberfläche schwimmt, sieht man das sehr gut: Der Kork bleibt an derselben Stelle der Wasseroberfläche, während die Wellenberge und Wellentäler weiter ziehen. Eine Welle braucht also ein Medium. Wasserwellen brauchen Wasser, Schallwellen brauchen Luft (darum kann Lärm nicht durch luftleeren Raum dringen) und  die "Welle" im Fussballstadion braucht Menschen, welche im richtigen Zeitpunkt aufstehen und die Arme schwenken.

Welle

Welches Medium hat das Licht? Wie schon im "Remider" oben erwähnt, beschäftigte diese Frage die Physiker um Ende des 19.Jahrhunderts sehr. Wenn Licht eine Welle sein sollte, dann musste es doch ein Medium geben, welches der Lichtwelle ermöglichte, von der Sonne zur Erde zu gelangen. Man nannte das Medium der Lichtwellen "Äther". Erst in der zweiten Hälfte des 20.Jahrhunderts  gewöhnte man sich an die Vorstellung, der Raum selbst könne das Medium der Lichtwellen sein. Ausserdem entdeckte Maxwell, dass mit einer "Doppelwelle" (ein elektrisches Feld als "Medium" und ein magnetisches) alle Eigenschaften des Lichtes beschrieben werden können:

EMW

Vereinfacht aber verhält sich Licht wie eine  Wasserwelle. Schon im Bild der Meeresbucht erahnt man, dass in der Lücke zwischen  dem Fels rechts und jenem links etwas mit den Wasserwellen, die vom weiten Meer her kommen, geschieht. Sie werden zu einem Bogen:


Welle


Hygens hat diese Beobachtung aufs Licht angewandt und den einfachen Grundsatz formuliert: Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Quellpunkt   einer (Teil-)Welle  betrachtet werden; zusammen ergeben diese Teilwellen wieder die Wellenfront -- ausser am Rand einer Lücke:
Welle
Wenn wir nun auf einer Wasseroberfläche zwei Kreis-Wellen-Qellen haben  (oder im Raum zwei Kugelwellen-Quellen, also z.B. zwei Lichtquellen), dann  "interferieren" (beeinflussen einander) die von den Quellen erzeugten Wellen. Sie "überlagern" sich:

Welle

Das Prinzip  der Interferenz ist sehr einfach:  Die Zustände werden addiert.
Treffen also am gleichen Ort zur gleichen Zeit zwei Wellenberge zusammen, so addieren sie sich  zu einem doppelt so hohen Wellenberg. Umgekehrt  verschwindet ein Wellenberg wenn er mit dem Wellental zusammentrifft (das Wellental wird üblicherweise als  negative Wellenamplitude aufgefasst):
Welle
Hier noch die Formeln zur  Berechnung der Interferenz:
(überspringe Math)
Interferenz


Interferenz
Wir halten fest: Wenn also gerade Wellenfronten auf eine Lücke treffen, so wierden die "Quell-Punkte" am Rand sich verhalten wie zwei  Quellen von Kreiswellen und es wird zu Interferenz kommen:

Interferenz
Im Wasserexperiment  ist die "destruktive Interferenz" gut sichtbar:


Welle


Die Orte der Maxima und Minima lassen sich geometrisch leicht berechnen:
(überspringe Math)
Interferenz
Mit zwei Lücken ("Doppelspalt") werden die "Quellen" in der Mitte der Lücke ausgeschaltet. Dadurch wird die Interferenzerscheinung deutlicher:

Doppelspalt

Will man Interferenz von Lichtwellen (von EMW), dann sollte man Licht von einer Wellenlänge benützen, also nicht weisses Licht, sondern nur eine Spektralfarbe. (trotzdem ist erstaunlicherweise Interferenz mit Sonnenlicht beobachtbar, wenn auch nicht sehr gut).

Wir halten fest: 
Die Teilchentheorie kann den Photoelektrischen Effekt erklären, aber nicht die Interferenz.
Die Wellentheorie  kann die Interferenz erklären, aber nicht den photoelektrischen Effekt.


Die Männer, denen wir das Dilemma verdanken:
Hygens Newton Maxwell Einstein


Die weiteren Untersuchungen am Licht zeigten, dass dieses Dilemma "ist Licht eine Welle oder besteht es aus Teilchen?"  immer wieder auftritt.

Zum Beispiel führt das folgende Experiment zu diesem Dilemma:
Photomultiplyer (PM) sind Geräte, mit denen einzelne Lichtquanten (Photonen) sich  nachweisen lassen. Man kann eine Lichtquelle so weit abschwächen, dass mit dem PM  einzelnen Photonen P1, P2, P3, ... zur Zeit  t1, t2, t3, ... registriert werden können. Nun nehmen wir einen Doppelspalt. Wir können hinter jeden der beiden Spalten  einen PM aufstellen und so z.B. feststellen:  P1 ging durch Spalt A , P2 durch Spalt A , P durch Spalt B , P4 durch Spalt A, P5 durch Spalt B  usw. Nehmen wir an, nach 10 sec haben wir 100 Photonen registriert. Nun entfernen wir die PM und lassen die Photonen auf eine Fotoplatte auftreffen. Nach 10 sec entfernen wir die Fotoplatte, entwickeln sie und stellen fest: Es hat 100 (plus minus 3-4) "Einschläge" gegeben (wir haben ein hyperempfindliches Fotopapier verwendet, auf dem jedes Photon einen schwrzen Punkt verursacht). Nun stellen wir eine neue Fotoplatte hin und lassen sie einige Minuten im Photonenregen stehen. Nach der Entwicklung sehen wir ein Interferenzmuster. Da wir wissen, dass die Photonen  einzeln und zeitlich nacheinander entweder durch Spalt A oder durch Spalt B gehen, erwarten wir, dass wir z.B. Spalt A schliessen können und dann doch auch das selbe Interferenzmuster wie vorhin erhalten. Das tritt aber NICHT auf!

Nach diesem Experiment muss man fragen: Warum "wissen" die Photonen, ob beide Spalten offen sind und wie sie sich dann auf die Fotoplatte zu verteilen haben?  
Wenn aber das Licht eine Welle ist, die stets durch beide Spalten geht (falls beide offen sind),  ist zwar betreffend Interferenz alles in Ordnung und "erklärbar" -- dann aber verstehen wir nicht, warum wir mit den PM-Detektoren von einzelnen "Wellenpaketen" (Quanten) ganz genau sagen können, durch welchen Spalt sie gehen und wo auf der Fotoplatte sie eingeschlagen haben... Das passt ganz und gar nicht zur Auffassung, ein Lichtquant sei eine Kugelwelle. Ausserdem müsste ja die Energiedichte eines Photons, wenn es eine Kugelwelle wäre, mit der Ausbreitung  abnehmen, -- was es nicht tut!

Nun könnte man sagen: Na schön, Licht ist eben etwas ganz Besonderes. Wir mussten ja schon beim "Medium" Konzessionen machen, auf den Äther verzichten und uns daran gewöhnen, dass der Raum selbst Medium sein kann... also können wir uns auch an dieses eigenartige Verhalten des Lichtes gewöhnen, dass es weder Welle noch Korpuskel ist...


 
5 Die Materienwelle nach de Broglie
Das wäre alles schön und recht, wenn nicht  de Broglie in seiner Doktorarbeit die Formel l = h/p aufgestellt hätte ("h"= Plancksches Wirkungsquant und p=Impuls). Der Impuls eines Körpers  ist bekanntlich das Produkt aus seiner Masse und seiner Geschwindigkeit. Die Formel von de Broglie besagt also, dass auch Massen eine Wellenlänge haben.

Die Formel l = h/p = h/(mv) bzw. h=l(mv) liess sich leicht in Einklang bringen mit derjenigen von Planck: E=hn,  (vgl. oben)
weil ja   E = mv2  und also  h =
mv2 / n
kombiniert mit de Broglies Formel ergibt dies l(mv)  = mv2 / n   bzw.  v = l n

De Broglies Doktorarbeit wurde erst angenommen, nachdem der damals schon berühmte Einstein sich für ihn eingesetzt hatte. Einstein war natürlich der geeignete Mann, de Broglies Idee aufzunehmen. Mit seiner aus der Relativitätstheorie abgeleiteten Formel  E= mc2hatte er ja ganz ähnlich Erkenntnise, die am Licht gewonnen worden waren, verallgemeinert und auf die Materie generell angewandt. Das Gleiche tat de Broglie idem er sagte, auch Elementarteilchen mit Masse (z.B. Elektronen) können als Wellen aufgefasst werden. Tatsächlich  konnte man bald schon an Elektronen Interferenz beobachten. Broglie bekam dafür den Nobelpreis. Später gelang Nachweis der Wellennatur der Materie durch Interferenz auch mit Protonen, ja sogar mit grösseren Ionen. Damit war gezeigt, dass nicht nur das Licht, sondern auch Materie "Doppelnatur" hat.

Nun schaltete sich Bohr ein. Der  Physiker in Kopenhagen arbeitete eng zusammen mit Heisenberg (1901-1976) und Schrödinger. Sie vertraten die absurd klingende These: Ein Photon hat gar keinen Ort, solange es nicht geortet wird.

[Heisenbergs berühmte Unschärferelation besagt, dass in der Teilchenphysik Ort und Ipuls nicht beliebig genau feststehen:
Das Produkt der Ungenauigkeit beträgt    D
x Dp > h/4p]

(überspringe Math)
Schrödinger arbeitete an einer allgemeingültigen Gleichung  zur Beschreibung von Elementarteilchen-Zuständen. Eine Zustandsgleichung musste gemäss de Broglie eine Wellenfunktion sein und mit einer zweiten Wellenfunktion interferieren können, d.h. musste zu ihr addiert werden können. Schrödinger schuf seine Formel intuitiv nach den Kriterien: Die "Materiewelle" muss imaginär sein und doch der Interferenz mit andern Materiewellen fähig bis zum dem Augenblick, da die Materie "fest-gestellt" wird; diese Forderung führte Schrödinger zur "komplexwertigen" Wellenamplitude (d.h. mit i = Wurzel aus -1 multipliziert). Der "Feststellung" eines quantenphysikalischen Zustands entspricht dann die  Quadrierung der Gleichung; das Teilchen wird dann real, weil i2 =1. Im Übrigen berücksichtigte Schrödinger den Formalismus der Maxwellschen Gleichungen und das Energieerhaltungsgesetz. (vgl. Wikipedia-Erläuterungen) . Die Schrödingergleichung ist ohne höhere mathematische Bildung nur der Spur nach verständlich :  

Schrödinger
Kurzfassung der Herkunft von Schrödingers Gleichung:
vgl. Wikipedia

Schrödingergleichung


6 Die Kopenhagener Deutung
Ein Zustand, der naturgesetzlich nicht gemessen werden kann, hat keine physikalische Existenz.
Von einem Photon, das Doppelspalt-Interferenz zeigen soll, kann aus prinzipiell-theoretischen Gründen (Heisenbergsches Gesetz) nicht gesagt werden, durch welchen Spalt es seinen Weg genommen hat und das bedeutet: Das Photon hat tatsächlich keinen Ort, solange der Ort nicht bestimmt wird (wenn aber der Ort bestimmt wird, ist es "aus" mit der Wellenfunktion, aus mit der Möglichkeit von "Interferenz", -- die Wellenfunktion ist "kollabiert" (mathematisch: quadriert zur Wahrscheinlichkeitsdichte).





7 Das Bellsche Theorem

7.1 Polarisation
Um diesen Abschnitt zu verstehen, muss zuerst kurz die "Polarisation" des Lichtes  erklärt werden:
Eine "Polaroidsonnenbrille" hat dunkelgraue Filter, die z.B. von Schneekristallen reflektiertes Licht unter bestimmten Bedingungen (Polaroidfilter zufällig in geeigneter Achse) ganz  herausfiltern können. Das hat damit zu tun, dass ein reflektierter Lichtstrahl, wenn er rechtwinklig zum gebrochenen steht, polarisiert wird.

Man kann sich polarisiertes Licht wie folgt vorstellen: Licht sei eine Transversalwelle, die aber normalerweise nicht konstant in derselben Ebene schwingt; wenn sie es aber tut, dann nennen wir das Licht "polarisiert". Polarisationsfilter haben eine Achse, die wir mit 0° bezeichnen, und zeigen folgende Eigenschaft:  Normales (unpolarisiertes) Licht wird  zu 50% durchgelassen und dabei in 0° polarisiert. Wird dieses so polarisierte Licht durch einen zweiten,  identischen und
gleichen aufgestellten Filter geschickt, dann  geht es ungehindert zu 100% durch den Filter. Wird der zweite Filter aber um 90° gedreht, so lässt er von dem zuvor in 0° polarisierten Licht nichts durch. In den Zwischenstellungen gilt:  Der Filter lässt 100cosProzent der Potonen durch. (Q = Winkel zwischen Polarisatorachse und Polarisation des Lichtes). Man kann nur eine statistsche Aussage machen. Vom einzelnen Photon ist keine Voraussage möglich, ob es den Filter passieren wird oder nicht.
Statsitisch aber gilt das 
Malus-Gesetzes: :




Man kann einen Polarisator auch benützen, um die Polarisation eines Lichtstrahls herauszufinden: Gibt es für einen Lichtstrahl eine Filterstellung a, in der 100% durchgelassen wird (und eine Stellung b senkrecht dazu, in der  0% durchgeht), dann ist das Licht vollständig in der Richtung a polarisiert polarisiert.

7.2. Kalziumkazit
Es gibt Kristalle aus Kalziumkalzit, welche einen Lichtstrahl (wie ein Polaroidfilter) zu 50%  durchlassen und ihn dabei vollständig polarisieren, die andern 50% aber nicht verschlucken (absorbieren) wie die Filter, sondern brechen und auch polarisieren, aber senkrecht zum ungebrochenen Strahl. Der Kristall absorbiert also kein Licht.KK
Hier ein solcher doppelbrechender Kristall:





Die beiden Kanäle "ungebrochen"(u) und "gebrochen" (g) entlassen polarisiertes Licht. Die Polarisation der beiden Kanäle steht rechtwinkligt zueinander.

KK1




7.2 
Die EPR-Publikation
1935 kam es zwischen  Bohr und Einstein (Publikation von Einstein,  Boris Podolsky und Nathan Rosen) erneuten zu einer Diskussion der "Kopenhagener Deutung".  Einstein sagte folgendes:
Es gibt atomare Prozesse, bei denen ein Elektron von einem Energieniveau in ein tieferes fällt und dabei nicht ein, sondern zwei Photonen P und P' abgegeben werden; diese Photonenzwillinge fliegen immer in entgegengesetzter Richtung weg und sind immer rechtwinklig zu einander polarisiert. Das erkennt man mit folgender Versuchsanordnung:

A und B sind doppelbrechende Kalziumkazit-Kristalle:

 EPR KK2
Wenn beide Photonen P und P' unabhängig nur
zufällig in den u- oder g-Kanal gelangen, dann müsste es bei Betrachtung einzelner Photonenpaare vorkommen, dass auch einmal zufällig beide Paare in den gleichen Kanal gelangten. Und zwar müsste dies mit einer Wahrscheinlichkeit von WW'= 0.5 0.5=0.25 auftreten.
 

 



Wenn es, wie die Quantenphysiker denken, tatsächlich beidseits reiner Zufall ist, ob ein Photon in den u- oder in den g-Kanal geht, dann müsste man erwarten, dass mit einer Wahrscheinlichkeit W=W·W'=0.25 die Zwillinge PP' beide durch den g-Kanal gehen und mit W=0.25 beide durch den  u-Kanal.

Dies ist aber nicht nicht der Fall. Immer wenn ein P durch g geht, geht sein Zwiolling durch u und umgekehrt. Das beweise, sagten 
Einstein,  Podolsky und Rosen, dass Photonen die Kanäle nicht zufällig benutzen,  sondern dass es Eigenschaften der Zwillinge gibt, die Kanalwahl mitbestimmten. Um die quantenphysikalische Deutung zu "retten", postulierten deren Anhänger (Bor, Heisenberg, Schrödinger; BHS) die "VERSCHRÄNKUNG" der Photonen.

Bell fand eine Versuchsanordnung, die ermöglichteeine, eine der beiden Theorien auszuschliessen:


7.3 Anwendung des Bellschen Theorems zur Klärung der Frage,
ob die Kopenhagener Deutung zutrifft

Wir wissen, dass ein Photon mit einer Polarisation in α zur Kanalrichtung eine Chance von cos2(α) hat in den u-Kanal zu gelangen (bzw. eine Chance von 1-cos2(α) in den g-Kanal zu gelangen)

Die Kontroverse Bohr-Heisenberg-Schrödinger (BHS) gegenüber Einstein-Podosky-Rosen (EPR):
Es muss (wie BHS postulierten) eine Verschränkung bestehen und die Polarisierung von P im u- oder g-Kanal sich auch auf das P' beziehen.
Oder es gibt (wie EPR postulierten) unbekannte Faktoren, welche die Kanalwahl mitbestimmen und bei P un P' im entgegengesetzten Sinne Wirken.

Für BHS gibt es echte Zufallereignisse (grundlose Ereignisse)
Für EPR ist jedes Geschehen durch eine Ursachen determiniert.

Für BHS repräsentiert ein Ensemble, das zu 100% durch den g-Kanal geht, in 90° zum Kanal polarisiertes Licht.
Also muss im EPR-Experiment die Polarisierung von P sich durch Verschränkung auch auf P' auswirken.

Für EPR
ist es aber glaubwürdiger anzunehmen, dass den Photonenzwillingen andere versteckte (unbekannte)  Eigenschaften
ausser der Polarisierung beigemischt sind, welche die Kanalwahl bestimmen.
Bell hat theoretisch gezeigt, dass das Malus-Gesetz nicht vereinbar ist mit der EPR- Interpretation
Die methematische Ableitung seiner seiner behauptung findet man  hier:
  https://de.wikipedia.org/wiki/Bellsche_Ungleichung
oder in seiner Originalarbeit  
 http://www.drchinese.com/David/Bell_Compact.pdf
Einen wunderbaren Einblick in ein Quantenpysikalisches Labor bekommt man von der Uni Erlangen ageboten:
http://www.didaktik.physik.uni-erlangen.de/quantumlab/index.html?/quantumlab/Grundlagen/Kapitel3/index.html 


7.4. Nachweis der Verletzung des Lokalrealismus
durch Anwendung des Malus-Gesetzes
:
Gemäss "Realitätskriterien" sollten die Wahrscheinlichkeiten  WZ + WX zusammen gösser sein als WY 

Rechnerische Untersuchung:
WZ + WX - WY 0  
Wenn wir die  Winkel X,Y und Z geschickt wählen, ergibt sich aus dem bekannten Verhalten des polarisierten Lichts (vgl. 7.1)
folgende Rechnung:

Dann ergibt sich:
WZ + WX - WY =  cos2Z  + cos2X - cos2Y   >  0

Wir wählen nun für Y=3Z und für X = 90°-(Y-Z) = 90°-2Z
Damit wird dann  
cos2X  zu  sin2(Y-Z)  und wir bekommen:
48 Bell-Quantenphysik-4.JPG




8. Schrödingers Katze

Damit ist die mysteriöse Aussage bewiesen, dass es physikalische Eigenschaften gibt, die erst durch die Beobachtung Wirklichkeit werden, d.h. vor der Beobachtung in keiner Weise Ursache sein können. Mit andern Worten: Die Beobachtung selbst verursacht die "Ratifizierung" der betreffenden Wirklichkeit.

Nachdem es inzwischen manche Beispiele dafür gibt, dass sich nicht nur Photonen, sondern auch andere Elementarteilchen quantenphysikalisch wie Licht verhalten (nämlich als Welle, die sich gemäss E=mc2 durch Interferenz zu "reiner Energie" ohne Masse umwandeln lässt), liegt es auf der Hand zu sagen, dass auch Eigenschaften z.B. von Elektronen, Protonen, Ionen erst durch Beobachtung "wirklich" werden. Das hat zu folgender Diskussion geführt:

1. Ein typischer quantenmechanischer Vorgang ist z.B. der Zerfall  eines Isotops. Wir können also analog zu oben geschildertem Experiment sagen: Wenn wir ein einzelnes radioaktives Isotopatom nehmen, dann ist die EXISTENZ der Eigenschaft "zerfallen" oder "nicht-zerfallen" davon abhängig, ob wir diese Eigenschaft des Isotopatoms beobachten.
2. Der Zerfalle eines einzelnen Isotops kann einen Geigerzähler zum  klicken bringen, der Klick kann einen Hammer zum schlagen bringen, der Hammer eine Katze töten:

Sch

Was aber ist, wenn wir die Experimentierkiste schliessen und nichts beobachten?


Katze

Ist dann die Katze in der Kiste weder tot noch lebendig?
Die Eigenschaft "Katze lebt" ist ja gebunden an die quantenphysikalische Eigenschaft des Isotops; diese Eigenschaft aber existiert gar nicht, solange wir sie nicht beobachten! Die Frage also bleibt offen. Die Physiker verstecken sich hinter der Erklärung, die quantenphysikalischen Regeln seien eben nur gültig für  grosse "Ensembles"  von Teilchen. Das stimmt aber nicht; denn die Problematik der Quantenphysik ergibt sich ja genau daraus, dass man Photonen auch einzeln erfassen kann, und dass es keine Physik gibt, deren Messketten nicht schliesslich in den Dimensionen menschlicher Existenz (Meter, Kilo) erfolgen würden! Physikalische Vorgänge die nur und ausschliesslich in Mikrodimensionen oder astronomischen Dimensionen Auswirkungen hätten, könnten wir gar nicht erfassen. Am Schluss jeder Messkette steht der Mensch, der die Messung zur Kenntnis nimmt.


9 Links
http://www.cip.physik.uni-muenchen.de/~milq/milq_basiskursp01.html
http://lxsa.physik.uni-bonn.de/outreach/wyp/exercises/erlangen/de/titelseite.html
http://home.vrweb.de/~gandalf/Quanten/VWT2.htm

Zur Quantenkryptografie: Sie beruht im Prinzip darauf, dass man Polarisation nur mit Polarisatoren messen kann, und das bedeutet: Durch die Messung wird die Polarisation des gemessenen Photons zerstört. Man kann nun Datenübertragungsprotokolle erstellen, die zwar wohl von Unbefugten gelesen werden können, dann aber von einem zweiten (legitimen) Adressaten als "schon gelesen" erkannt wird. Die "Quantenkryptografie" ist also nicht eine eigentliche Kryptografie, sondern eher eine Versiegelung. Wenn solche Versiegelung einen Schlüssel zur Enzifferung von codierten Geheimnachrichten benützt wird, kann eine Rückmeldung, bevor die eigentliche geheime Nachricht abgeschickt wird. Darum wird die (von einem rel. kleinen Kreis behauptete) "absolute" Sicherheit der Quantenkryptografie angezweifelt, vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Quantenkryptografie



10 Mystizismus und Quantenphysik
 
Die Quantenphysik ist nicht mehr und nicht weniger mystisch (geheimnisvoll) als die übrigen Gebiete der Physik. Dubois hat schon 1880 dargelegt, dass die klassisch-mechanistische Physik voller transzendentaler,  physikalisch nicht lösbarer Fragen steckt. Der Unterschied  zwischen Mechanik und Quantenphysik besteht darin, dass letztere die physikalischen Makrophänomene gedanklich auflöst in eine sehr grosse Zahl von Mikroereignissen und diese dann durch statistisch Aussagen beschreibt, um damit dann wieder eine Beschreibung der Makrophänomene zu erhalten. Nun ist es aber so, dass die gedankliche Auflösung der Phänomene in Mikroereignisse eine Analogie zwischen diesen Mikroereignissen und den Makroereignissen suggeriert, die nur teilweise zutrifft. Das hat aber weniger mit einer mysteriösen Mikro- oder Elementarteilchenwelt zu tun, als viel mehr damit, dass wir uns eine Mikrowelt als Erklärung unserer sinnlichen Erfahrung der Makrophänomene ausgedacht haben: Wir sprechen von Photonen und Elektronen wie von Kügelchen, obschon es schon vom Theoretischen her unmöglich ist, diese "Kügelchen" je direkt sinnlich zu erfassen, als "Kügelchen" zu erkennen.

Die Teilchenphysik bzw. die Hypothese von Elementarteilchen ist nun aber trotz vieler "Widersprüche" (die alle darauf zurückzuführen sind, dass ein Teilchenstrahl sich anders verhält als ein Wellenstrahl) eine sehr erfolgreiche Arbeitshypothese, d.h. sie ist sehr nützlich bei der Beschreibung physikalischer Phänomene bzw. bei der Prognose der Ergebnisse physikalischer Experimente. Da die Teilchenphysik sich des mathematischen Apparates der Stochastik
bedient, empfiehlt sich eine Beschäftigung mit diesem mathematischen Gebiet (Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik).

Das "völlig Zufällige" wird mathematisch definiert als ein Ereignis, das zwei Verlaufsmöglichkeiten a und b besitzt, wobei a/b sich mit zunehmender Ereignismengen n=(a+b)  immer mehr dem Wert 1 nähert. Wenn man das Ereignis a wünscht (und es darum als "günstiges Ereignis" bezeichnet)
, dann nennt man die Anzahl günstiger Ereignisse a dividiert durch die Anzahl n aller Ereignisse (n=a+b) die Wahrscheinlichkeit W des günstigen Ereignisses a.
W nähert sich mit zunehmendem n dem "wirklichen" Ww
W bleibt aber trotzdem immer nur eine Schätzung. Die Schätzung wird allerdings umso besser, je grösser n.

Mit der sog. Galton-Maschine (Bild unten aus http://de.wikipedia.org/wiki/Francis_Galton) versucht man, den "vollkommenen Zufall", ob eine Kugel bei jeder  Gabelung rechts oder nach links fällt, zu realisieren, und kann damit dann die Gauss'sche Normalverteilung sichtbar machen.
 
Galtonbrett

Zur Ableitung der Formeln betreffend die Gauss'sche Normalverteilung sind die Formeln der Kobinatorik nötig.
Um diese abzuleiten, muss man als erstes sich fragen, wie gross die Anordnungsmöglichkeiten  bei der Aufreihung von N Elementen ist, d.h. wie viele "Permutationen" P es für N Elemente gibt:
Die folgende Abbildung  zeigt, dass P=N!       (wobei 1!=1;  2!=1. 2;  3!=
1. 2. 3n!=1. 2. 3 ... . n )

Permutation


Zusammen mit der aus der Kombinatorik bekannten Formeln ergibt sich, dass die Normalverteilung
, wie aus folgender Abbildung ableitbar, den Binominalkoeffizienten entsprichtst. In der Galtonmaschine verhalten sich die Mengen der Kügelchen Ai ,  sich im "Fach" Fi  befinden, der Anzahl Wege Wi , die zu diesem Fach führen:
d.h. 
 A1 : A2: A3 : A4 : ...  An  =  W1 : W2: W3 : W4 : ...  Wn

Die Anzahl Wege zu einem "Fach"  berechnet sich wie folgt:
Rbedeute bei Weggabelung Nr. i  ("Ziehung", wenn es um weisse und schwarze Kugeln in einer Urne geht) fällt die Kugel nach Rechts
Lbedeute bei Weggabelung Nr. i  ("Ziehung", wenn es um weisse und schwarze Kugeln in einer Urne geht) fällt die Kugel nach Links
Es ist klar, dass die Fachnummer gegeben ist (quasi wir durch Koordinaten x;y) durch
y=- i = N  und   x= K = (ZR -ZL) wobei  ZR = Anzahl R  und  ZL = Anzahl L  und  ZR +ZL =N
 
Offensichtlich ergeben RLLL (blauer Pfad) und  LRLL (roter Pfad) und LLRL (grüner Pfad)  dasselbe "Fach"
Wenn man die Weggabelung-Nummer als Index einsetzt, sieht man, dasses zwar  R1L2L3L4 (blauer Pfad) und L1R2L3L4 (roter Pfad) usw. gibt, aber es gibt nicht die Permutation R1L4L3L2   d.h. die Indexe müssen fortlaufend nummeriert sein, d.h. es gibt nicht N! Wege zu einem "Platz"; die Permutationen der L untereinander und die Permutationen der R untereinander sind unzulässig, nur EINE Anordnung (nämlich die fortlaufend nummerierte ist möglich); d.h. in der Fakultäts-Faktorenreihe  entfallen die R-Permutationen und  die L-Permutationen. Es bleibt dann  für die Anzahl Wege Zw zu einem bestimmten Platz:  Zw = N!/(ZR! ZL!)  bzw. ZR!= N!/(ZL! Zw)
In der Abb. wird  N als Nummer der "Ziehung" bezeichnet, d.h. statt Rechts und Links in der Galton-Maschine kann man sich auch eine Urne vorstellen mit sehr vielen schwarzen und weissen Kugeln, die blind "gezogen" werden.
Die Gesamtzahl aller Wege bis  zur "Ziehung Nr." N beträgt  2N

Wir verschieben nun die N-Achse um  N/2 nach  links.
K=0 steht dann ganz links:


Der K-Wert entspricht dann ZR
K=Z und weil ZR +ZL =N  ist  ZL =(N - K )
Also wird dann  Zw = N!/(ZR! ZL!)  zu          Zw = N!/[K! (N - K )!]

Wahrscheinlichkeit Wx eines Ereignisses X in einem Total-Ereignispool Zt  ist definiert:
Wx = Zx/Z für Zt gegen unendlich strebend (Wx = Asymptote)
Also ist die Wahrscheinlichkeit Wk dass ein Zufallsereignis Platz K belegt
Wk = N!/[2N K! (N - K )!]



Die zuletzt gezeigte Formel wird gelesen als "N über K durch N-te Potenz von Zwei",
wobei "N über K" den K-ten Binominalkoeffizienten in einem  "Binomen"  (a+b)N   bedeutet.
Der "mathematische Apparat" der Quantenphysik führt also rasch zu komplexen Formeln der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung, die nur noch mit Übung im "Matrizenrechnen" zu bewältigen ist. Die "Matritzenmultiplikation" z.B. erfolgt nach folgender Regel:
Matrizenmultiplikation 
Das Erlernen der Kombinatorik und Statistik erfordert das Erlernen der Matrizenrechnungsregeln und  ist  zur mathematischen Beschreibung der "Teilchenphysik"  unerlässlich. Diese nicht ganz einfach zu erlernende mathematische Fertigkeit bzw. die prognostischen Erfolge, die damit erzielt werden, täuschen manche Physiker darüber hinweg, dass die Annahme von Elementarteilchen letztlich eben doch eine Arbeitshypothese zur Beschreibung physikalischer Makrophänomene ist, also eine Hypothese, wenn auch eine recht erfolgreiche. Sie hilft aber in keiner Weise zur Lösung der Weltenrätsel. Leider sind viele Naturwissenschafter in Mathematik besser geschult als in Philosophie (und viele Philosophen oft zu wenig in Naturwissenschaft und Mathematik).