1. Mathematik für Nicolas


Lieber Nicolas
Ich habe dir vor nicht allzu langer Zeit ein Geschichtlein über Carl Friedrich Gauß  erzählt. Und ich habe gemerkt, dass du Freude daran gehabt hast. Hier ist es noch einmal herauskopiert aus der Internetseite, auf die du gelangst, wenn du auf obigen "Link" (=englisches Wort für "Verbindung") klickst:

"Im Alter von neun Jahren kam Gauß in die Volksschule. Dort stellte sein Lehrer Büttner seinen Schülern als Beschäftigung die Aufgabe, die Zahlen von 1 bis 100 zu summieren. Gauß hatte sie allerdings nach kürzester Zeit gelöst, indem er 50 Paare mit der Summe 101 bildete (1 + 100, 2 + 99, …, 50 + 51) und 5050 als Ergebnis erhielt."

(Bei diesser Gelegenheit kannst du übrigens gleich auch lernen: Der komische Buchstabe "ß" am Ende des Familiennamens von Carl Friedrich ist ein "Doppel-S". In der Schweiz schreibt man dafür "ss".  Wir würden also den Familiennamen von Carl Friedrich  so schreiben: Gauss )

Da du Spass hast am Rechnen, habe ich dir zusammengestellt, was man so etwa wissen sollte, um das Rechnen der Konstrukteure und Wissenschaftler zu verstehen.  Rechnen ist eigentlich gar nicht kompliziert, wenn man die Bedeutung einiger Wörter und Abkürzungen kennt. Es ist aber wichtig, sich die genaue Bedeutung der von Mathematikern verwendeten "Fremdwörter" zu merken, weil man sonst nicht verstehen kann, was sie reden.  (Wenn ich im Folgenden zum Beispiel schreibe "zusammenzählen (=addieren)" dann  solltest du dir sofort einprägen, dass "addieren" das gleiche bedeutet wie "zusammenzählen", und dass ich dann später lieber das Wort "addieren" brauche, weil es von allen Methematikern auf der ganzen Welt gebraucht wird).

Bei diesser Gelegenheit  erwähne ich einige Abkürzungen, die ich oft brauchen werde, und die du vielleicht schon kennst:
"z.B." bedeutet "zum Beispiel"
"d.h." bedeutet "das heisst"
"usw." bedeutet "und so weiter" (manchmal auch nur mit "..." abgekürzt)

"bzw." bedeutet "beziehungsweise"


Nun also, lieber Nicolas,
ich will dir aufschreiben, wie man in der Math schnell und leicht Fortschritte machen kann.
Dazu ist es nützlich, sich von Grund auf klar zu machen, was in der Math überhaupt gedacht und gemacht wird.
Und darum fangen wir an mit der ersten Frage

1. Was ist das: eine "natürliche Zahl"?

Was "nicht natürliche Zahlen" sind, davon werden wir erst viel später sprechen...!
Bei den "natürlichen Zahlen" gibt es die drei grossen Hauptarten:


1.1.
Kardinalzahlen = Grundzahlen (Anzahl-, Mengen-Zahl)
Was ist z.B. "Fünf"? Was bedeutet die Zahl "Fünf"?
Wenn ein kleines Kind die Hand aufstreckt, dann ist das nicht "eine Fünf", sondern das Kind zeigt fünf Finger.

Eine Kardinalzahl gibt dann also eine Menge (Anzahl) an. Die Zahl "fünf" alleine sagt noch nicht, ob fünf Finger oder fünf Tage oder fünf Blumen oder fünf von sonst etwas gemeint sind.

Eine Kardinalzahl gibt eine Menge an, aber ohne anzugeben, von was.

Fünf Kieselsteinchen sind etwas anderes als fünf Walfische oder fünf Sterne am Himmel.
Aber: Dass fünf und zwei sieben ergibt, das gilt gleichgültig, ob es sich nun um Steinchen, Fische und Sterne handelt.

Zwar ist es in der praktischen Anwendung des Zusammenzählens (=Addierens) meistens unzweckmässig, Fische und Sterne zu addieren. Aber sobald man einen Überbegriff für die Summanden (d.h. die zusammen zu zählenden Mengen) definiert, z.B. "Gegenstände" (Objekte), kann man eigentlich alles zusammenzählen; man kann dann durchaus sagen 5 Sterne und (=plus) 2 Fische ergeben 7 Gegenstände

Zahlen kann man nicht nur mit Buchstaben schreiben (z.B. "f-ü-n-f"), sondern auch mit Abkürzungen, die dann ganz einfach Ziffern (z.B. "5") genannt werden:  

5  und ("plus") 2 ist gleich viel wie ("gibt") 7

Auch für  das "plus" und für das "gibt" hat man Abkürzungen erfunden:

5 + 2=7

Das alles hast Du nätürlich schon gewusst. Aber es ist eben doch nützlich, sich bewusst zu machen, dass Zahlen und + und =  Symbole  sind, das heisst Zeichen oder Abkürzungen für irgendetwas.
So ist z.B. "7" das Symbol für die "Menge sieben" und das Gleichheitszeichen "=" ist das Symbol dafür, dass rechts und links des Gleichheitszeichens die gleiche Menge steht.

Das Symbol für  "Abzählen" oder auch "weg-Nehmen" genannt (oder "weg-Rechnen") ist ein Strichlein:
72  = 5
Da siehst du übrigens Folgendes: Rechts und links des Gleichheitszeichens steht die gleiche Menge. Wenn du jetzt auf beiden Seiten die eine gleich grosse Menge (z. B. 2) addierst, dann hat es natürlich immernoch auf beiden Seiten die gleiche Menge: 
72 + 2 = 5 + 2
Und nun siehst du: Da hat man rechts des Gleichheitszeichen 2 weggenommen und gleich wieder hinzugefügt, also ist
72 + 2 = 7
Und folglich ist
7 = 5 + 2  
oder
5 + 2=7
Das "Wegzählen" nennt der Mathematiker "Subtrahieren".
Das Mal-Rechnen heisst übrigens "Multiplizieren" und  die beiden Zahlen, die multipliziert werden heissen Faktoren.
Eine Multiplikation, z.B. drei mal vier gleich zwölf, schreiben wir unter Verwendung von Symbolen
so                                         3 x 4 = 12
oder häufiger auch so            3 · 4  = 12


1.2. Ordnungs-Zahlen, "Ordinalzahlen":
Wenn man einer Zahl die Endung "-te" anhängt (vierte, fünfte, sechste ... hundertste...) oder ihr das Vorwort "Nummer" (Nr.) gibt ("Nr. 3", "Nr. 4" usw.), dann ist nicht mehr eine Menge gemeint, sondern der Platz in einer nach bestimmten Eigenschaften (=Kriterien, Merkmalen, Kennzeichen) geordneten Reihenfolge.
Die folgende Abb. 001 verdeutlicht den Unterschied zwischen Mengenzahl und Ordnungszahl:


Unterschied Mengenzahl-Ordnungszahl

Abb.001

1.3. Ganze und nicht-ganze Zahlen
Alle Mengenzahlen, die mit blossen Ziffern wiedergegeben werden können, heissen "ganze Zahlen", also z. B. 1,2, 3, 4, 5....37....27365....
Man kann sich einen Korb vorstellen mit 5 Äpfel darin, oder mit 7, usw. Aber man kann sich auch einen Korb mit 6 und einem halben Alpfel vorstellen. Die Apfelmenge im Korb ist dann grösser als 6, aber kleiner als 7, nämlich "sechseinhalb". Das ist dann nicht mehr eine "ganze Zahl".
 
Überlegen wir uns, wie wir diese Zahl schreiben könnten:
Wenn ein Apfel halbiert wird, dann entstehen  zwei gleich grosse Stücke. Aus einem Ganzen werden zwei Halbe. Aus 1 werden 2 gleich grosse Teile.
Wir schreiben darum für eine Hälfte:       1/2
Entsprechend schreiben wir für sechs und einen halben Äpfel:   6½

Wenn wir beide Apfelhälften eines geteilten Apfels in je zwei gleich grosse Stücke teilen, bekommen wir aus einen Apfel vier gleich grosse Stücke
und nennen diese Stücke "Viertel-apfelstücke". Weil  vier solche Stücke einen ganzen Apfel ergeben, schreiben wir für ein Stück:   ¼

Wenn wir also von unsern  6 ½ Äpfel den Halbapfel in der Mitte zerschneiden und eines der Viertelstücke essen, dann sind noch 6¼ Äpfel im Korb.
Wenn wir das Viertelstück nicht essen, sind 6 2/4   und weil wir nichts gegessen haben ist die Menge gleich geblieben, also 6 ½ =  6 2/4
Wenn wir von 7 Äpfeln einen in vier Schnitze zerteilen und eines der Viertelstücke essen, dann sind noch 6¾ Äpfel im Korb:
7 =  6 4/4  und dann wird ein Schnitz gegessen:    6 4/41/4  =  6 3/4

Wenn wir die Apfelmenge 6¼ angeben wollen ohne die Schreibweise  "¼" zu verwenden, so können wir angeben, wie viele Viertel-äpfel es im Korb hat, wobei wir berücksichtigen, dass auch ein NICHT zerschnittener Apfel aus vier Vierteläpfeln besteht; alsdann hat es genau 6 mal 4 plus einen  "einzelnen" Viertel, also 25 Vierteläpfel  im Korb.


Statt  ½  oder  ¼ usw.  kann man den Strich auch horizontal statt schräg schreiben: Bruch-1.jpg  bzw. Bruch-2.jpg

Fünfundzwanzig Vierteläpfel schreibt man dann:
    
Bruch-3.jpg Äpfel

  6¼  = Bruch-3.jpg

Diese Schreibweise nennt man einen  Bruch.  Oben steht der Zähler (= die Menge der Bruchstücke, auch "Dividend" genannt); unten steht der "Nenner", der uns angibt, wie viele gleich grosse Teilstücke jeweils die Menge Eins ergeben (auch "Divisor" genannt). Weil die Schreibweise mit horizontalem Strich am PC etwas schwierig durchführbar ist,
wird oft statt Bruch-3.jpg   einfach 25 ∕4 geschrieben

Das Teilen in gleich grosse Teile heisst übrigens "Dividieren" .
Eine in drei gleich grosse Untermengen aufgeteilte Menge 12 ergibt drei Untermengen 4, d.h.   12 = 3·
Ein Drittel von 12 ist 4. Diese Division schreiben wir unter Verwendung von Symbolen
so                        12 : 3 = 4 
oder auch so
       12 / 3 = 4

Nach all dem Gesagten ist klar, dass z.B. (25)  ∕ (4)  dasselbe ist wie z.B.  (10 + [3∙5])  ∕  (2∙2)
Die eckigen Klammern sind nötig, weil nämlich  (10 + [3∙5])=25 aber ([10 + 3]∙5)=65 ; man muss also angeben,
ob die Addition oder die Multiplikation zuerst durchgeführt werden soll. Regel: Man macht stets zuerst die Operation in der Klammer:
 (3(20  8)  (104)) / 10  = 3        aber :  320 8   10  4/10  = 60 10( 4/10) =  41 6/10   mit Dezimalbruch geschrieben:  41.6 (vgl. unten auf dieser Seite)

Operationen:

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division nennt man "Operationen" (Rechnungsoperationen).  Es gibt noch andere Operationen, wie wir bald sehen werden.
Dabei geht es (meistens) darum, eine erste Zahl (=Operand) nach einer gewissen Regel mit einer zweiten Zahl (Operator) in Beziehung zu bringen (zu behandeln, zu operieren), um zu einer Zahl zu gelangen (das Resultat oder ergebnis), welche die gleiche Menge widergibt:
Beispiele:
Sieben weg fünf gibt zwei    bzw.        7 − 5 =  2     
(7=Operand; 5=Operator; Operation=Subtraktion; 2=Resultat)

sechs mal fünf gleich dreissig    bzw.   6 · 5 = 30

Kommutativgesetz:

Es gibt Operationen, bei denen Operand und Operator vertauscht werden können, ohne dass damit das Resultat ändert
(Addition: a+b=b+a, Multiplikation: a·b=b·a). Man nennt sollche Operationen "kommutativ" (mit-veränderlich) .
Und es gibt Operatioenen, bei denen die Vertauschung das Resultat verändert (z.B. Subtraktion, Division)

Umkehroperationen:
Es gibt Operationspaare, von denen die eine Operation die Umkehroperation der andern ist.
Addition und Subtraktion ist z.B. ein solches Paar, weil    7 − 5 =  2    und    7 =   2 + 5
Und Multiplikation und Division ist ein solches Paar, weil    6 · 5 = 30     und    6 = 30 / 5
Allgemein:   
Operand <Operation> Operator=Resultat   
UMKEHROPERATION  
Operand=Resultat <Umkehroperation>  Operator

(
hier  findest du mehr über "Operationen")


Etwas über das "Kürzen" und "Erweitern":
Wenn Du drei Äpfel jeden in 6 Teile teilst, hast du 3∙6=18  Sechsteläpfel:  18/6
Umgekehrt kannst du sagen: Wenn ich 18/6 Äpfel habe, dann habe ich drei ganze Äpfel (wenn auch vielleicht zerschnittene): 18/6 = 3 weil 18:6=3
Was ist, wenn Du nur noch 15/6 hast? -- Na ja, dann hast du vermutlich  3/6 gegessen, d.h. einen  ½ Apfel gegessen und hast nun nur noch 2
½ Äpfel.
Man rechnet also 15:6 = 2+Rest3 = 2+(3/6) =
2½

Wenn Du 4 Birnen in je 5 Teile teilst, bekommst Du 4∙5=20 Teile, d.h. 20 ∕ 5

Wenn du jeden Fünftel nochmals in drei Teile teilst bekommst du Fünfzehntel (d.h. jede Birne ist in 15 Teile geteilt)
und im ganzen also (3∙20) ∕ (3∙5)  = 60 ∕ 15 = 4
Wie du siehst, darf man Dividend und den Divisor  mit der gleichen Zahl dividieren oder multiplizieren ohne dass sich der Mengenwert des Bruches ändert.
Das Teilen von Dividend und Divisor durch die selbe Zahl nennen wir Kürzen.
Das Multiplizieren von Dividend und Divisor durch die selbe Zahl nennen wir Erweitern.

Kürzen und Erweitern eines Bruches ändern die Menge, die der Bruch widergibt, nicht.





1.4 Etwas über die Schreibweise der Zahlen:

Wenn kleinen Kindern das Zählen gelehrt wird, dann erklärt man ihnen die Mengenzahlen  durch Anschauen der Finger.
Man streckt einen Finger auf und sagt "Eins", dann zwei Finger und sagt "Zwei" usw.
Weil wir nun 10 Finger haben lernen die Kinder zuerst auf zehn zählen.

Die Fingermenge, die ein Mensch hat,  ist zehn

Später dann erklärt man dem Kind, dass man weiter zählen kann,
indem man die ersten zehn  als "ersten Zehner" im Gedächtis behält
und mit dem Fingern fortfährt:
Elf (ein Finger zeigen und "eine Fingermenge", d.h. einen Zehner im Kopf denken);
zwölf (zwei Finger zeigen und einen Zehner im Kopf denken);
drei-zehn (drei Finger zeigen und einen Zehner im Kopf denken);
vier-zehn (vier Finger zeigen und einen Zehner im Kopf denken);
usw.

Wenn wir das aufschreiben wollen, statt im Kopf zu behalten,
dann schreiben wir zuerst die Zehner und dann die Finger (Einer): 11 = elf; 12 = zwölf; 13 = dreizehn
Wenn wir so bei neunzehn angekommen sind und weiter zählen wollen, dann müssen wir bei zwanzig zwei ganze Zehner notieren (20) 
und  bei einundzwanzig zwei Zehner und einen Finger (Einer) = 21

So geht das dann munter weiter bis 99.
Da wird es dann wieder interessant, weil 1 dazu gezählt 10 Zehner ergibt, und dem sagen wir "einen Hunderter" und schreiben "100"
Die geschriebene Zahl 100 bedeutet also 1 Hunderter und null (kein) Zehner und null (kein) Einer.

Du siehst also lieber Nicolas, dass unsere Benennung und Schreibweise der Zahlen von unsern Händen abgeleitet wurde. Nehmen wir mal deinen Hund Skubidu. Er hat nur vier Krallen an einer Pfote  (d.h. die fünfte ist so platziert, dass er sie nicht zum Zählen gebrauchen kann). Nehmen wir mal an, ein Hund würde (wie wir Menschen) nur seine Vorderpfoten zum Zählen benützen. Er würde dann also bis sieben zählen und sagen: Noch eins dazu und meine Vorderpfoten-Krallenmenge ist erschöpft.

Die Vorderpfoten-Krallenmenge eines Hundes ist acht


Wenn der Hund weiter zählen wollte, würde er sich "eine Krallenmenge" im Kopf merken und weitere Krallen hinzu zählen. Er würde sagen: Neun bedeutet eine Krallenmenge plus Eins  (und Skubidu würde schreiben 11,  und das würde für ihn die Menge Neun bedeuten)  Zehn bedeutet eine Krallenmenge plus zwei   (und Skubidu würde schreiben 12 = ein mal die Krallenmenge acht plus zwei Einzelkrallen = Menge Zehn) usw.

Du verstehst nun, dass Skubidu  die geschriebene Ziffern  36  lesen würde als 3 Krallenmengen  plus sechs Einerkrallen, das sind  drei mal acht (=vierundzwanzig) plus sechs, also dreissig. Natürlich würde Skubidu schon bei acht mal acht, das heisst bei vierundsechzig sagen, er habe eine Krallenmenge mal eine Krallenmenge und dafür 100 schreiben.
(so wie wir Menschen für eine Fingermenge mal eine Fingermenge 100 schreiben). Die Ziffern (=Zahlenzeichen) 8 und 9 würde Skubidu überhaupt nicht benötigen.

Vergleich Achtersystem, Zehnersystem, Zwölfersystem und Zweiersystem
In der folgenden Tabelle siehst du, wie ein Mensch zählt oder ein Hund oder ein Wesen mit nur zwei Krallen oder Finger. Das "Zweifingerwesen" spielt in der Computertechnik eine grosse Rolle, weil nämlich der "elektronische Zählrahmen" nur zwei Ziffern bzw. "Zustände" kennt, die man "0" und "1"  nennen kann,
oder ebenso gut auch "Ja" und "Nein",
oder "Schwarz" und "Weiss",
oder "On" (ein) und "Off" (aus)
usw.
Die Tabelle zeigt auch gleich das Zählen eines Zwölfingerigen :
(sympathischer und völlig normaler,
 indischer Knabe mit 12 Finger ! )
Zwölffingeriger


Menge So schreibt der Mensch
Mengen
(Zehnersystem)
So zählt Skubidu
die selben Mengen
(Achtersystem) 
So schreibt ein Marsmensch
mit nur je einem Finger
an jeder Hand
(Zweiersystem)
So würde ein Zwölffingeriger zählen,
wenn ihm die Schule nicht das Zehnersystem
vorschreiben würde (der Junge müsste sich
dann natürlich zwei neue Ziffern ausdenken...
z.B.   ¥  für zehn und  ¤ für elf)
x 1 1 1 1
xx 2 2 10 2
xxx 3 3 11 3
xxxx 4 4 100 4
xxxxx 5 5 101 5
 xxxxx x 6 6 110 6
xxxxx xx 7 7 111 7
xxxxx xxx 8 10 1000 8
xxxxx xxxx 9 11 1001 9
xxxxx xxxxx 10 12 1010 ¥
xxxxx xxxxx
x
11 13 1011 ¤
xxxxx xxxxx
xx
12 14 1100 10
xxxxx xxxxx
xxx
13 15 1101 11
xxxxx xxxxx
xxxx
14 16 1110 12
xxxxx xxxxx
xxxxx
15 17 1111 13
xxxxx xxxxx
xxxxx x
16 20 10000 14
xxxxx xxxxx
xxxxx xx
17 21 10001 15
xxxxx xxxxx
xxxxx xxx
18 22 10010 16
xxxxx xxxxx
xxxxx xxxx
19 23 10011 17
xxxxx xxxxx
xxxxx xxxxx
20 24 10100 18
xxxxx xxxxx
xxxxx xxxxx
x
21 25 10101 19
xxxxx xxxxx
xxxxx xxxxx
xx
22 26 10110 1¥
xxxxx xxxxx
xxxxx xxxxx
xxx
23 27 10111 1¤
xxxxx xxxxx
xxxxx xxxxx
xxxx
24 30 11000 20
xxxxx xxxxx
xxxxx xxxxx
xxxxx
25 31 11001 21
xxxxx xxxxx
xxxxx xxxxx
xxxxx x
26 32 11010 22
xxxxx xxxxx
xxxxx xxxxx
xxxxx xx
27 33 11011 23
xxxxx xxxxx
xxxxx xxxxx
xxxxx xxx
28 34 11100 24
xxxxx xxxxx
xxxxx xxxxx
xxxxx xxxx
29 35 11101 25
xxxxx xxxxx
xxxxx xxxxx
xxxxx xxxxx
30 36 11110 26
xxxxx xxxxx
xxxxx xxxxx
xxxxx xxxxx
x
31 37 11111 27
xxxxx xxxxx
xxxxx xxxxx
xxxxx xxxxx
xx
32 40 100000 28

usw. usw. usw. usw.

1.5 Erweiterung des Dezimalsystems (decem = 10 auf Lateinisch), Dezimalbrüche
Nun hast Du, lieber Nicolas, etwas weiter oben schon gelernt, dass man einen Apfel als vier Viertelsäpfel betrachten kann, auch wenn er noch nicht zerschnitten ist.
Ausserdem hast Du soeben gelernt, warum wir Menschen uns angewöhnt haben, im Zehnersystem zu rechnen (der Computer rechnet im Zweiersystem, hat aber meistens die Freundlichkeit, uns das Resultat seiner Berechnungen ins Zehnersystem zu übersetzen...). Weil wir also sozusagen durch unsere Hände auf das Zehnersystem fixiert sind, machen wir im Allgemeinen aus "ganzen Zahlen" (bzw. Äpfel) nicht Viertel, sondern Zehntel. Bei  6 Äpfeln im Korb hätten wir dann 60 Zehnteläpfel.  Wenn wir die Äpfel zehnteln, dann können wir die Zehntel von 6 bis 7 wie folgt zählen:
(in der oberen Reihe als Brüche geschrieben, in der unteren dasselbe aber in der Form von "Dezimalstellen" geschrieben:
Dezimalbr%FCche.png
Du kennst schon lange die Dezimalstellen "Einer", "Zehner", "Hunderter", Tausender", "Zehntausender" usw. (immer jede Stelle zehn mal mehr):
und nun hast Du auch die Dezimalstelle "Zehntel" kennen gelernt ("ein Zehntel" = zehn mal weniger als ein "Einer"). Da wundert es Dich natürlich nicht, dass man auch einen Zehntel in zehn "Hundertstel" aufteilt und zum Aufschreiben der Hunderstel die zweite Stelle rechts nach dem Punkt verwendet.

Nun sind also z.B.  639.392 = 6 Hunderter + 3 Zehner + 9 Einer + 3 Zehntel + 9 Hundertstel + 2 Tausendstel.

Weil man sehr oft in Hundertsteln rechnet hat man dafür einen Extranamen erfunden: Prozent
Wenn also jemand von 3 Prozent spricht, könnte er eben so gut von 3 Hundersteln sprechen.
Weil man so viel von Prozenten spricht und schreibt, gibt es dafür auch ein Schreibkürzel: %

So, lieber Nicolas, nun weisst du schon Einiges über das Zählen beziehungsweise über Zahlen.
Als Nächstes gehen wir in die Geometrie und lernen etwas über das Messen und Berechnen

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